复变函数第一章作业

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第一章

习题 1.1

1. 求下列复数 \(z\) 的模 \(|z|\) 与辐角的主值 \(\arg z\).

(1) \(z=\sqrt 3+\text{i}\).
(2) \(z=\dfrac{1+\text{i}}{1-\text{i}}\).

解:

• (1) \(|z|=2,\ \arg z=\dfrac{\pi}{6}\).
  (3) \(z=\text{i},\ |z|=1,\ \arg z=\dfrac{\pi}{2}\).

2. 求下列方程的根:

\((2)\ z^2=\sqrt{1+i}\).

解:

• 利用棣莫弗定理, \(1+\text{i}=2^{\frac 1 2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{4})\), 故 \((1+\text{i})^{\frac 1 2}=2^{\frac 1 4}(\cos\dfrac{\pi}{8}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{8})\).

  所以 \(\arg z = \dfrac{\frac{\pi}{8}+2k\pi}{2},\quad k=0,1\) 且 \(|z|=2^{\frac 1 8}\).

  \(z_1=2^{\frac 1 8}(\cos\dfrac{\pi}{16}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{16}),\)
  \(z_2=2^{\frac 1 8}(\cos\dfrac{9\pi}{16}+\text{i}\sin\dfrac{9\pi}{16})\).

3. 求二次方程 \(z^2+2\text{i} z-1+i=0\) 的两个根.

解:

• \((z+\text{i})^2=-\text{i} \Rightarrow z=-\text{i}\pm\sqrt{-i}\Rightarrow z=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}(-1+\mp\dfrac{\sqrt{2}}{2})\).

4. 设 \(z=x+\text{i} y\), 其中 \(x\) 与 \(y\) 分别是 \(z\) 的实部与虚部. 证明 $$ \dfrac{1}{\sqrt 2}(|x|+|y|)\leqslant|z|\leqslant(|x|+|y|). $$

解:

• 等价于证明 \(\dfrac{1}{2}(|x|+|y|)^2\leqslant (x^2+y^2)\leqslant(|x|+|y|)^2\).

  对于第二个小于等于, 直接展开可以得到 \(0\leqslant 2|x||y|\). 显然成立.

  对于第一个小于等于, 展开可得 \(2|x||y|\leqslant x^2+y^2\Leftrightarrow 0\leqslant (|x|-|y|)^2\) 显然成立.

6. 设 \(z_1\) 与 \(z_2\) 是任意两个复数. 证明等式 $$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2), $$ 并说明其几何意义.

解:

• \[ \begin{aligned} |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 &= (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) \\ &= 2|z_1|^2+2|z_2|^2 + z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}-z_2\overline{z_1}-z_1\overline{z_2} \\ &= 2(|z_1|^2+|z_2|^2). \end{aligned} \]

  几何意义就是平行四边对角线长度平方和等于四边长度平方和.

8. 设 \(|\alpha|<1,|\beta|<1\), 证明不等式: $$ \left|\dfrac{\alpha-\beta}{1-\overline{\alpha}\beta}\right|<1. $$

解:

• \[ \begin{aligned} \Leftrightarrow & |\alpha-\beta|^2<|1-\overline{\alpha}\beta|^2\\ \Leftrightarrow & (\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})<(1-\overline{\alpha}\beta)(1-\alpha\overline{\beta})\\ \Leftrightarrow & |\alpha|^2+|\beta|^2-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta<1+|\alpha|^2|\beta|^2-\alpha\overline{\beta}-\overline{\alpha}\beta\\ \Leftrightarrow & 0<(1-|\alpha|^2)(1-|\beta|^2). \end{aligned} \]

  由 \(|\beta|,|\alpha|<1\) 可知最后一步成立, 所以不等式成立.

9. 设 \(|\alpha|<1,|\beta|=1\), 证明等式: $$ \left|\dfrac{\alpha-\beta}{1-\overline{\alpha}\beta}\right|=1. $$

解:

• \(|1-\overline{\alpha}\beta|=|\overline{\beta}\beta-\overline{\alpha}\beta|=|\overline{\beta}-\overline{\alpha}||\beta|=|\alpha-\beta|\).

习题 1.2

2. 在下列集合中, 哪些是区域? 哪些不是区域?

(1) \(\{z:|z-\text{i}|<|5+\text{i}|\}\).
(2) \(\{z:0<|z+1+\text{i}|\leqslant 2\}\).
(3) $\left\lbrace z:\left|\dfrac{z-1}{z+1}\right|<1\right\rbrace $.
(4) \(\{z=x+\text{i} y:y\neq\sin\dfrac{1}{x}\}\).
(5) \(\mathbb{C}\backslash[0,1]\).
(6) \(\mathbb{C}\backslash (1,+\infty)\).

解:

• (1) 是.
  (2) 不是, 因为边界 \(2\) 不是开集.
  (3) 是, \(x>0\).
  (4) 不是, 如果 \(x=0\) 时属于这个集合, 那么考虑 \((0,0)\) 不是内点, 集合不是开集. 如果不属于, 那么集合不连通, 被 \(x=0\) 和 \(y=\sin\dfrac 1 x\) 分成四个部分.
  (5) 是.
  (6) 不是.

6. \(x=x(t),y=y(t)\) 是区间 \((0,1)\) 上的两个连续的实函数, 则我们称映射 $$ \gamma:(0,1)\to\mathbb{C},\ t\mapsto z(t)=x(t)+\text{i} y(t) $$ 的像为一条曲线. 试举出一条曲线 \(\gamma:t\mapsto z(t)\), 它有下列性质: 当 \(t\to0\) 时 \(z(t)\) 没有极限. 这样的例子表明: 一条曲线可能无端点可言.

解:

• 取 \(z(t)=t+\text{i}\sin\dfrac 1 t\).

7. 设有集合 \(E:=\{z=x+\text{i} y\in\mathbb{C}:x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{Q}\}\), 其中 \(\mathbb{Q}\) 是全体有理数的集合. 证明该集合没有一个内点, 且其聚点集合 \(E'=\mathbb{C}\).

解:

• \(\forall z_0=x_0+\text{i} y_0\in\mathbb{C},\forall \varepsilon>0,\exists z=x+\text{i} y\in\mathbb{C} s.t.\ |z-z_0|<\varepsilon\), 根据有理数的稠密性, 所以 \(\mathbb{C} \subseteq E'\Rightarrow E'=\mathbb{C}\), 同样的根据无理数的稠密性, 也一定存在 \(z=x+\text{i} y\in\mathbb{C},x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\ s.t. |z-z_0|<\varepsilon\). 所以 \(E\) 中无内点.

9. 设 \(\{z_n\}\) 是一个复数序列. 若存在一个收敛子序列 \(\{z_{n_k}\}\), 则其极限 \(\zeta=\lim\limits_{k\to\infty}z_{n_k}\) 被称作原来序列的一个极限点. 试举出一个序列, 其极限点集合是整个复平面.

解:

• 根据有理数的可数性, 集合 \(\{z=x+\text{i} y:x,y\in\mathbb{Q}\}\) 也是可数集, 所以我们可以把这个集合排成一列, 而对于复平面上的每个点 \(w\), 由于有理数的稠密性, 我们一定可以选取一个无穷子列 \(\{z_{n_k}\}\) 满足 \(|w-z_{n_k}|<\dfrac{1}{k}\) 从而极限是 \(w\).